|
|
 |
Условие
В n мензурок налиты n разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно 1/n от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)
Решение
Докажем, что это возможно, индукцией по n. При n = 1 доказывать нечего – мы уже имеем в первой мензурке
равномерную смесь из одной жидкости.
Шаг индукции. Пусть мензурка M1 – пустая, а M2, ..., Mn+2 – полные. Вначале отложим в сторону мензурку Mn+2. Воспользовавшись предположением индукции, сделаем так, чтобы в каждой из мензурок M2, ..., Mn+1 была равномерная смесь первых n жидкостей, а мензурка M1 была пустой.
Разольём жидкость из M2, ..., Mn+1 поровну в M1, ..., Mn+1. После этого перельём в каждую из этих мензурок по 1/n+1 жидкости из Mn+2.
