Условие
Дана система из
n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух
точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка
перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки
такой системы лежат на одной окружности.
Решение
Поместим в данные точки единичные массы. Пусть
O - центр масс полученной системы точек.
При любом движении, переводящем систему точек в себя, точка
O остается на месте.
Поэтому для любых двух точек
A и
B из нашей системы
OA=OB . Значит, все точки
лежат на одной окружности с центром в точке
O .
Источники и прецеденты использования
