Задача 78543

Темы:    [ Теорема Птолемея ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).

Решение

Пусть D – точка пересечения биссектрисы угла A c описанной окружностью треугольника. По теореме Птолемея AD· BC = AB· CD + AC· BD . Так как BD=CD и BC=(AB+CD)/2 , то AD=2BD . Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC . Легко проверить, что ID=BD . Поэтому I – середина отрезка AD . Сделаем гомотетию с центром в точке A и коэффициентом 1/2 . При этой гомотетии описанная окружность треугольника ABC перейдет в окружность S , проходящую через точку A и середины сторон AB и AC . Точка D перейдет в точку I , поэтому I принадлежит окружности S . Так как радиус окружности S в 2 раза меньше радиуса описанной окружности, то центр описанной окружности также принадлежит окружности S .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	3