Условие
Из точки
O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых
равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может,
один вектор), длина суммы которых больше 1.
Решение
Отложим все векторы
a1,
a2, ...,
an из одной точки
O; проведём
ещё через
O две взаимно перпендикулярные прямые
xx1 и
yy1,
направления которых отличны от направлений любого из векторов (рис. 40).
Сумма длин проекций векторов
a1,
a2, ...,
an на прямые
xx1 и
yy1 будет больше 4 (ибо сумма длин проекций вектора на две взаимно
перпендикулярные прямые не может быть меньше длины вектора и равна его длине
лишь для вектора, направление которого совпадает с направлением одной из этих
прямых). Поэтому хотя бы для одного из четырёх лучей
Ox,
Ox1,
Oy и
Oy1 сумма длин проекций на этот луч тех векторов, которые на него
проектируются (т. е. тех векторов, направление проекций которых на
соответствующую прямую совпадает именно с этим лучом, а не с противоположным)
больше 1; пусть это будет, скажем, луч
Ox. Рассмотрим теперь отобранную
таким путем группу векторов — некоторые из векторов
a1,
a2,
...,
an, сумма длин проекций которых на луч
Ox больше 1; так как
проекция их суммы равна сумме длин их проекций (вот здесь используется то,
что проекции на прямую
x1x всех этих векторов направлены в одну сторону!)
и не больше длины суммы этих векторов, то длина суммы рассматриваемых
векторов превосходит 1. Это и доказывает утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
