|
|
 |
Условие
Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его
первая и четвёртая цифры – не нули.
Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.
Решение
Из признака делимости на 37, доказанного в задаче 78550, следует, что меняя местами цифры, номера которых различаются на 3, мы снова получаем число, кратное 37. Если из данного числа такими заменами невозможно получить другое число, то данное число имеет вид abcabc = 1001abc . Так как числа 37 и 1001 взаимно просты и N делится на 37, число abc делится на 37. Следовательно, число 10abc = abc0 делится на 37. По признаку делимости на 37 число bca = a + bc0 делится на 37, а значит, число abcbca делится на 37. Поскольку в исходном числе есть хотя бы две различные цифры, построенное число отлично от исходного.
