Условие
Даны окружность
O, точка
A, лежащая на ней, перпендикуляр к плоскости
окружности
O, восставленный из точки
A, и точка
B, лежащая на этом
перпендикуляре. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров,
опущенных из точки
A на прямые, проходящие через точку
B и произвольную
точку окружности
O.
Решение
Ответ: окружность, являющаяся пересечением сферы, построенной на
AB как на диаметре,
с конусом, вершина которого – точка
B , а основание – данная окружность.
пусть точка
C принадлежит нашему ГМТ. Тогда угол
ACB – прямой, поэтому
C
лежит на сфере, построенной на
AB как на диаметре. Ясно также, что
C лежит
на конусе с вершиной в точке
B , образованном прямыми, проходящими через
данную окружность. Поэтому наше ГМТ совпадает с пересечением построенных конуса и сферы.
Данное пересечение представляет собой окружность (это следует, например, из того,
что при стереографической проекции окружность переходит в окружность).
Ответ
окружность, являющаяся пересечением сферы, построенной на
AB как на диаметре,
с конусом, вершина которого – точка
B , а основание – данная окружность.
Источники и прецеденты использования
