|
|
 |
Условие
Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?
Решение
Предположим, что карточки расположены требуемым образом. Назовём отрезком набор карточек, расположенных между двумя одинаковыми карточками, а длиной такого отрезка – количество других карточек, расположенных между ними. Подсчитаем сумму длин всех отрезков двумя способами. С одной стороны, она равна 0 + 1 + 2 + ... 9 = 45, то есть нечётна. С другой стороны, если на отрезке между карточками с цифрами a встречается ровно одна карточка с цифрой b, то на отрезке между карточками с цифрой b встречается ровно одна карточка с цифрой a. Поэтому каждая пара цифр (a, b) даёт чётный вклад в сумму длин всех отрезков (0 или 2). Следовательно, сумма длин всех отрезков чётна. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
