Задача 78590

Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник (вершины могут лежать как внутри, так и на окружности). Доказать, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Решение

Предположим сначала, что центр O окружности лежит внутри данного пятиугольника  A₁A₂A₃A₄A₅. Рассмотрим углы   A₁OA₂, A₂OA₃,..., A₅OA₁. В сумме эти пять углов дают 2, поэтому один из них, например A₁OA₂, не превосходит 2/5. Тогда отрезок A₁A₂ можно поместить в сектор OBC, где  BOC = 2/5 и точки B и C расположены на окружности. Докажем, что любой отрезок MN, расположенный в треугольнике ABC, не больше наибольшей стороны. Пусть прямая MN пересекает стороны треугольника в точках M₁ и N₁. Ясно, что  MNM₁N₁. Пусть точка M₁ лежит на стороне AB, а точка N₁ — на BC. Так как  AM₁N₁ + BM₁N₁ = 180^o, то один из этих углов не меньше  90^o. Пусть для определённости  AM₁N₁90^o. Тогда  AN₁M₁N₁, так как против большего угла лежит большая сторона. Аналогично доказывается, что либо  AN₁AB, либо  AN₁AC. Следовательно, длина отрезка MN не превосходит длины отрезка с концами в вершинах треугольника. В треугольнике OBC наибольшей стороной является BC, поэтому  A₁A₂BC. Если точка O не принадлежит данному пятиугольнику, то углы  A₁OA₂,..., A₅OA₁ дают в объединении угол меньше , причём каждая точка этого угла покрыта ими дважды. Поэтому в сумме эти пять углов дают меньше 2, т. е. один из них меньше 2/5. Дальнейшее доказательство аналогично предыдущему случаю. Если точка O лежит на стороне пятиугольника, то один из рассматриваемых углов не больше /4, а если она является его вершиной, то один из них не больше /3. Ясно, что  /4 < /3 < 2/5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	29
Год	1966
вариант
	1
Класс	9,10,11
Тур	1
задача
Номер	3