Условие
Имеется лабиринт, состоящий из
n окружностей, касающихся прямой
AB в точке
M. Все окружности расположены по одну сторону от прямой, а их длины
составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Два человека в разное
время начали ходить по этому лабиринту. Их скорости одинаковы, а направления
движения различны. Каждый из них проходит все окружности по порядку, и, пройдя
наибольшую, снова идет в меньшую. Доказать, что они встретятся.
Решение
Докажем, что они обязательно встретятся на самой большой окружности. Для этого
достаточно доказать, что в какой-то момент времени один из них зайдёт на эту
окружность, когда другой будет по ней идти. Если в тот момент, когда
первый человек, пройдя вторую по величине окружность, заходит на самую
большую, второй уже идёт по самой большой окружности, то они обязательно
встретятся. Если же второй находится на какой-нибудь другой окружности, то,
так как длина самой большой окружности больше суммы длин всех остальных,
второй успеет пройти все оставшиеся ему окружности и зайти на самую большую
до того, как первый пройдёт её полностью, а значит, и в этом случае они
встретятся, причём на самой большой окружности.
Источники и прецеденты использования
