Задача 78626

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Признаки делимости на 11 ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Задано такое натуральное число A, что для любого натурального N, делящегося на A, число тоже делится на A. ( – число, состоящее из тех же цифр, что и N, но записанных в обратном порядке; например,   = 7691,  = 54).  Доказать, что A является делителем числа 99.

Решение

  Заметим, что нули в конце числа N можно отбрасывать (если  N = K·10^t  кратно A, причём число K не делится на 10, то по условию числа и   = K  кратны A).
  Пусть  N = a₁a₂...a_n–a_n   кратно A и  a_n > 0.  Вычитая из N·10ⁿ⁺² число "в столбик", получим разность
M = a₁a₂...a_n–1(a_n – 1)99(9 – a_n)(9 – a_n–1)...(9 – a₂)(10 – a₁).   Сложив теперь M с , получим число  Y = 10,  кратное A.
  Если бы мы проделали те же действия, отправляясь от чисел N·10ⁿ⁺³ и , то получили бы число  X = 10,  также кратное A. Но тогда
= 99  кратно A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	4