|
|
 |
Условие
Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что сумеет одним выстрелом пробить все четыре лопасти вертилятора. (Вертилятор устроен следующим образом: на оси, вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях друг от друга четыре полудиска, повернутые друг относительно друга под какими-то углами). Джимми может стрелять в любой момент и добиваться произвольной скорости пуль. Доказать, что Джимми выиграет пари.
Решение
Будем считать, что Джимми стреляет параллельно оси вертилятора, чуть выше неё. Тогда траектория пули изображается прямой с положительным угловым коэффициентом на плоскости (x, t) (x – координата вдоль оси, t – время). Чтобы понять, какой выстрел будет удачным, рассмотрим четыре вертикальные прямые, соответствующие абсциссам точек "крепления" полудисков (занумеруем их слева направо). По условию расстояния между соседними прямыми одинаковы. Разобьем каждую прямую на участки длины δ (2δ = 1/50 – время оборота оси). Каждый второй участок – чёрный отрезок, остальные – белые интервалы (рис. слева). Чёрные точки соответствуют попаданию пули в данный момент в полудиск, белые – промаху. Таким образом, надо доказать, что найдется прямая с положительным угловым коэффициентом, проходящая через четыре чёрные точки.
Веер пересекает прямую №1 по отрезку длины 3δ, поэтому на прямой №1 найдётся чёрный отрезок целиком попавший в веер. Сузим веер, проведя новые прямые через точку O и концы этого отрезка (рис. справа). Малый веер пересекает прямую №4 по отрезку длины один, поэтому это пересечение содержит чёрные точки (в худшем случае это пересечение состоит из белого интервала и двух чёрных точек на его концах). Соединив одну из этих чёрных точек с O, мы получим искомую прямую, проходящую через четыре чёрные точки.
