|
|
 |
Условие
Белые и чёрные играют в следующую игру. В углах шахматной доски стоят два короля: белый на a1, чёрный на h8. Играющие делают ход по очереди. Начинают белые. Играющий может ставить своего короля на любое соседнее поле (если только оно свободно), соблюдая следующие правила: нельзя увеличивать расстояние между королями (расстоянием между двумя полями называется наименьшее число шагов короля, за которое он может пройти с одного поля на другое: так, в начале игры расстояние между королями – 7 ходов). Выигрывает тот, кто поставит своего короля на противоположную кромку доски (белого короля на вертикаль h или восьмую горизонталь, чёрного – на вертикаль a или первую горизонталь). Кто выиграет при правильной игре?
Решение
Опишем выигрышную стратегию белых. Сначала белый король должен ходить по 1-й горизонтали вправо, пока чёрные своим ходом не уменьшат расстояние между королями. Если чёрные этого не сделают, то расстояние между королями остаётся равным 7, и белый король без помех дойдет первым до правого края.
Пусть чёрные уменьшат расстояние, тогда чёрный король сойдёт с 8-й горизонтали. В ответ белый король тоже сходит с 1-й горизонтали, делая ход в клетку того же цвета, что и клетка, в которой находится чёрный король (если таких две, он выбирает правую).
Будем считать, что шахматная доска – середина достаточно большого клетчатого квадрата. Когда оба короля стоят на клетках одного цвета, назовём зоной наименьший квадрат из клеток, включающий обоих королей, в котором они расположены центрально симметрично (зона может частично выходить за пределы доски). До ухода чёрного короля с 8-й горизонтали зона возникала после его ходов и совпадала с доской. После ухода белого короля с 1-й горизонтали возникает зона 6×6, которая не содержит клеток тех краёв доски, к которым стремится чёрный король. Покажем, что белые могут действовать так, чтобы после каждого их хода зона существует (для этого белый король ходит на клетку того же цвета, что и чёрный) и обладает тем же свойством.
Перед ходом чёрных короли стоят на противоположных краях зоны. Выйти за пределы зоны чёрный король не может, ходом вдоль края он не уменьшает расстояние между королями, а любой другой ход это расстояние уменьшает. Ход вдоль края может быть ходом вперёд или назад, то есть приближать чёрного короля к заветному краю доски или удалять от него.
Разберём четыре случая варианта ходов чёрных. Перед этим короли всегда стоят в противоположных клетках зоны чётного размера.
1) Чёрные не уменьшают расстояние, сходив вперёд. Тогда белые ходят в зоне центрально симметрично, уменьшая на 1 сумму расстояний до правого и верхнего краёв доски. При этом зона не меняется.
2) Чёрные не уменьшают расстояние, сходив назад. Тогда белые ходят в том же направлении (для них – вперёд). При этом зона сдвинется на 1 в том же направлении, а сумма расстояний от белого короля до победных краёв уменьшится.
3) Чёрные уменьшают расстояние, уйдя с края зоны. Тогда белые ходят в зоне центрально симметрично, уменьшая размер зоны на 2. При этом центр зоны не меняется.
4) Чёрные уменьшают расстояние, не уходя с края зоны. Это возможно только если чёрный король пойдёт по диагонали с одного края зоны на другой (между клетками, примыкающими к углу зоны, см. рис.). При этом возникнет зона размера на 1 меньше, и короли будут находиться в её противоположных углах, то есть на одной диагонали. Поскольку размер зоны стал нечётным, то на диагонали есть ещё хотя бы одна клетка. Белые ходят по этой диагонали, уменьшая размер зоны ещё на 1. Новая зона – часть той, которая была перед ходом чёрных.
Ответ
Белые.
