Условие
Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по
своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После
одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок
присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися
числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55
очков, как бы ни играл второй.
Решение
Опишем выигрышную стратегию первого игрока. Первым ходом первый игрок
вычёркивает девять чисел от 47 до 55. Остальные числа разбиваются на пары
вида (
x, 55 +
x). Далее первому надо действовать так, чтобы после каждого его
хода все числа были разбиты на пары такого вида. Покажем, как это сделать.
Если второй игрок вычеркнул
k пар и
l чисел без пар, то первому надо
на своём ходе вычеркнуть все числа, парные
l числам, вычеркнутым вторым
игроком и
k пар чисел. Тогда после его хода все оставшиеся числа будут
разбиты на пары вида (
x, 55 +
x). В частности, после одиннадцатого хода
оставшиеся два числа будут образовывать пару вида (
x, 55 +
x), что
и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
