Задача 78737

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Дано 999-значное число. Известно, что если взять из него любые 50 последовательных цифр и вычеркнуть все остальные, то полученное число будет делиться на 2⁵⁰. (Оно может начинаться с нулей или просто быть нулём.) Доказать, что исходное число делится на 2⁹⁹⁹.

Решение

Пусть данное число n равно  a₁a₂...a₉₉₉.  По условию числа  a₁...a₅₀  и  a₂...a₅₁  делятся на 2⁵⁰. Значит, и число  10·a₁...a₅₀ – a₂...a₅₁ = 10⁵⁰a₁ – a₅₁  делится
на 2⁵⁰. Следовательно,  a₅₁ = 0.  Аналогично докажем, что  a₅₁ = ... = a₉₉₉ = 0.  Поэтому  n = 10⁹⁴⁹·a₁...a₅₀  делится на  2⁹⁴⁹⁺⁵⁰ = 2⁹⁹⁹.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	33
Год	1970
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	3