Задача 78789
|
|
 |
Условие
Дано 29-значное число X = a1...a29 (0 ≤ ak ≤ 9, a1 ≠ 0). Известно, что для всякого k цифра ak встречается в записи данного числа a30–k раз (например, если a10 = 7, то цифра a20 встречается семь раз). Найти сумму цифр числа X.
Решение
Разобьём все числа на пары (ak, a30–k). Заметим, что если среди этих пар встречается пара (a, b), то пары (a, c) и (c, a), где c ≠ b, встречаться не могут, иначе цифра a должна встречаться в записи числа X с одной стороны b раз, а с другой – c раз. Итак, если встречается пара (a, b), то всегда в паре с a должно идти b, а в паре с b – a. А значит, пары (a, b) и (b, a) в сумме встречаются с одной стороны a раз, поскольку столько раз встречается цифра b, а с другой стороны, b раз, поскольку столько раз встречается цифра a. Поэтому a = b. Таким образом, цифра a встречается a раз, причём ak = a30–k. Также заметим, что только цифра, стоящая посередине, может встречаться нечётное число раз, а все остальные – чётное. Поскольку цифра a встречается a раз и0 ≤ a ≤ 9, получаем, что максимальное число разрядов в таком числе равно 9 + 8 + 6 + 4 + 2 = 29 и достигается только в случае, когда есть 9 девяток, 8 восьмёрок, 6 шестёрок, 4 четвёрки и 2 двойки. Следовательно, сумма цифр числа X равна 2·2 + 4·4 + 6·6 + 8·8 + 9·9 = 201.
Ответ
201.
