|
|
 |
Условие
а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число ck, что ≥ ck для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение ck.
Решение
Пусть S(N) – сумма цифр числа N.
Нам будут нужны следующие свойства функции S(N):
1) S(A + B) ≤ S(A) + S(B);
2) S(A1 + A2 + ... + An) ≤ S(A1) + S(A2) + ... + S(An);
3) S(nA) ≤ nS(A);
4) S(AB) ≤ S(A)S(B);
Чтобы убедиться в справедливости свойства 1), достаточно
представить себе, что числа A и B складываются "столбиком". Свойство 2) получается из 1) индукцией. 3) – частный случай 2). Если представить себе, что A умножается на B "столбиком" и к каждой цифре числа В применить 3), то получится 4).
а) Заметим, что S(8·125) = S(1000) = 1. Отсюда S(N) = S(1000N) = S(125·8N) ≤ S(125)S(8N) = 8S(8N).
б) То же рассуждение годится для любого числа k = 2r5q. Обозначим и докажем, что
≥ ck для любого N (при N = 2q5r это неравенство превращается в равенство, поскольку S(kN) = S(10r+q) = 1). Для любого N
что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что для чисел k вида 2r5qQ, где Q взаимно просто с 10 (Q > 1), отношение может быть меньше любого заданного ε > 0, то есть требуемого положительного числа ck не существует.
Согласно замечанию к задаче 73597 существует число вида 10m – 1 (состоящее из m девяток), делящееся на Q.
Пусть 10m − 1 = QR и n – любое натуральное число. Тогда 10mn − 1 – число, состоящее из mn девяток, – делится на Q и частное
Rn = R(10m(n–1) + 10m(n–2) + ... + 10m + 1). Теперь заметим, что у числа Q(Rn + 1) = QRn + Q = 10mn + Q – 1 сумма цифр при любом n равна S(Q), а сумма цифр числа Rn + 1 не меньше (n – 1)S(R). Таким образом, выбрав n достаточно большим и взяв N = Rn + 1, мы получим, что
Ответ
б) Только для k = 2r5q, при этом .
Замечания
На Московской олимпиаде предлагался только п. а).
