|
|
 |
Условие
Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?
Решение
Пусть p1, p2, p3, p4 – попарно различные нечётные простые числа. На стороне AB отметим точки на расстояниях от точки A.
Аналогично с помощью p2 строим разбиение BC, с помощью p3 – CD, с помощью p4 – DA. Тогда сторона AB разделена на отрезки длиной
Допустим, что существует прямоугольник A'B'C'D', со сторонами, полученными перестановкой получившихся отрезков. Докажем, что если сторона
этого прямоугольника (для определённости A'B') содержит какой-то отрезок, то она содержит и все те отрезки, которые лежали с ним на одной стороне квадрата (для определённости AB).
Предположим, что это не так, тогда рассмотрим разность A'B' – C'D'. Она должна равняться нулю, поскольку противоположные
стороны прямоугольника равны. Пусть p > 2 – простое число. Рассмотрим отрезки длины M1, M2 – различные подмножества множества этих отрезков, непересекающиеся и не совпадающие со всем множеством. Тогда разность сумм длин отрезков из M1 и M2 меньше единицы и
есть рациональное число, знаменатель которого есть ненулевая степень числа
p. Домножим длины всех отрезков на pk, тогда получаем длины 1, p – 1, (p – 1)p, ..., (p – 1)pk–1, причём каждое последующее число больше предыдущего не менее чем в два раза. А значит, суммы различных подмножеств различны, то есть сумма M1 не равна сумме M2.
Разность A'B' − C'D' есть сумма нескольких
дробей, знаменатели которых есть степени p1, p2, p3, p4. Но сумма таких дробей может быть равна нулю только если все они – целые числа, то есть в нашем случае равны нулю (иначе можно домножить на p2, p3, p4 в достаточно больших степенях и получить нецелое число, равное нулю). Но это не так. Противоречие.
Ответ
Можно.
