Информация о задаче

Задача 78834

Тема:

[

Квадратные корни (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие равенству

(a + b $\displaystyle \sqrt{2}$ )²ⁿ + (c + d $\displaystyle \sqrt{2}$ )²ⁿ = 5 + 4 $\displaystyle \sqrt{2}$

(где n — натуральное число)?

Решение

Ответ: нет, не существуют.
Прежде всего заметим, что представление числа в виде p + q $\sqrt{2}$ , где p и q — рациональные числа, единственно, т.е. если p + q = p₁ + q₁ $\sqrt{2}$ , где все числа p, q, p₁, q₁ рациональные, то p = p₁ и q = q₁. Действительно, q = q₁, поскольку иначе $\sqrt{2}$ = ${\frac{p-p_1}{q_1-q}}$ — рациональное число. Поэтому p = p₁.
Пусть p, q, r, s — рациональные числа. Тогда

(p + q $\displaystyle \sqrt{2}$ )(r + s $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = pr + 2qs + (ps + qr) $\displaystyle \sqrt{2}$ ,
(p - q $\displaystyle \sqrt{2}$ )(r - s $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = pr + 2qs - (ps + qr) $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поэтому если существуют рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие указанному равенству, то

(a - b $\displaystyle \sqrt{2}$ )²ⁿ + (c - d $\displaystyle \sqrt{2}$ )²ⁿ = 5 - 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ < 0.

Этого не может быть, поскольку числа (a - b $\sqrt{2}$ )²ⁿ и (c - d $\sqrt{2}$ )²ⁿ неотрицательны.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	35
Год	1972
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	4