|
|
 |
Условие
Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?
Решение
Пусть мы каким-то образом прокатили кубик из левого нижнего угла доски в правый верхний. Будем считать, что после каждого перекатывания через ребро на клетке доски отпечатывается число, записанное на той грани кубика, которая опиралась на эту клетку. Отпечатавшиеся числа a1, ..., a99 выпишем подряд в строчку, а их сумму обозначим через S.
Если числа на всех гранях кубика заменить средним числом 3,5, то сумма
отпечатавшихся чисел будет равна s = 3,5·99 = 346,5.
Оценим величину |S – s|. Так как числа a и 7 − a находятся на противоположных гранях кубика, то нетрудно понять, что между двумя встречающимися подряд числами a обязательно содержится число 7 − a. Поэтому для каждого 1 ≤ a ≤ 3 возможны три ситуации:
1) чисел a в последовательности столько же, сколько и чисел
7 − a;
2) чисел a ровно на одно больше, чем чисел 7 − a;
3) чисел a ровно на одно меньше, чем чисел 7 − a.
В случае 1) от замены всех чисел a и 7 − a на 3,5 их вклад в S не изменится. В случаях 2) и 3) от такой замены S увеличится или уменьшится на 3,5 − a. В результате вся сумма увеличится или уменьшится самое
большее на (3,5 − 1) + (3,5 − 2) + (3,5 − 3) = 4,5.
Таким образом, 342 = s − 4,5 ≤ S ≤ s + 4,5 = 351.
Значения S = 351 и S = 342 действительно достигаются, если катить кубик так, как это показано на рисунках.
Ответ
351, 342.
