Условие
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым
числом сторон.
Решение
Предположим, что любые две грани некоторого выпуклого многогранника имеют
различное число сторон. Рассмотрим ту грань Г, у которой число сторон
наибольшее; пусть оно равно
m. Следовательно, число сторон у любой из
остальных граней строго меньше
m. Значит, и количество оставшихся граней
строго меньше
m (ведь даже если бы существовали 1-угольники и 2-угольники, мы смогли бы набрать всего лишь
m − 1 разных многоугольников). С другой стороны, к грани Г примыкают ровно
m других граней многогранника (к каждой стороне — по одной). Мы получили противоречие. Стало быть, какие-то две грани обязательно имеют
равное число сторон.
Источники и прецеденты использования
