Задача 79263

Темы:    [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Дано число  A = ,  где n и m – натуральные числа, не меньшие 2.
Доказать, что существует такое натуральное k, что  A = .

Решение

Число  x =   является корнем квадратного уравнения  x + = n.  Для каждого натурального m рассмотрим число  k_m = x^m + .  Легко проверить, что  k_m+1 = k_m(x + ) – k_m–1 = nk_m – k_m–1.  Поэтому число k_m целое для любого натурального m. При этом  k_m > 0,
x^m = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	36
Год	1973
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1