|
|
 |
Условие
На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной
линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.
Решение
Обозначим отрезки, которые пробегает лев, через I1, I2, ..., Ik, а углы, на которые он при этом поворачивает, – через α1, ..., αk–1 (всего k отрезков и k – 1 поворот). Представим движение льва следующим образом.
Пусть лев пробежал отрезок AA1 = I1. Повернём вокруг него (то есть вокруг точки A1) арену на угол α1 так, чтобы отрезок I2 оказался продолжением отрезка I1. После того как лев пробежит отрезок A1A2 = I2, повернём вокруг него арену на угол α2, так, чтобы отрезок I3 стал продолжением отрезка I2 и так далее. Тогда лев будет бежать по прямой и пробежит отрезок AAk = 30000 (м), где A – начальная точка, a Ak – конечная.
Проследим за движением центра арены – точки O. Вначале точка O поворачивается вокруг точки A1 на угол α1, затем – вокруг точки A2 на угол α2 и так далее. Всякий раз центр арены O отстоит от центра вращения не больше, чем на 10 м, так как центр вращения – это лев, находящийся внутри арены. Поэтому при первом повороте точка O переместится не более чем на 10α1 (м), при втором – не более чем на 10α2 и так далее (углы измеряются в радианах). Всего точка O переместится не более, чем на 10(α1 + ... + αk–1) (м).
Поскольку OA ≤ 10, O'Ak ≤ 10 и AAk = 30000, то OO' ≥ 29980 (м). Отсюда α1 + ... + αk–1 ≥ 1/10 OO ≥ 2998 (рад).
