Задача 79275

Темы:    [ Поворот (прочее) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Две одинаковые шестерёнки имеют по 92 зубца. Их совместили и спилили одновременно 10 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

Решение

Обозначим через n число спиленных пар зубцов (в нашем случае n = 10). Тогда у каждой шестерёнки n² - n + 2 зубцов (в нашем случае 92). Всего существует n² − n + 1 таких поворотов верхней шестерёнки относительно нижней, при которых все зубцы обеих шестерёнок оказываются совмещёнными. Назовём дыркой то место шестерёнки, где отсутствует зубец. Рассмотрим произвольную дырку нижней шестерёнки. При n − 1 положениях верхней шестерёнки (кроме исходного) над этой дыркой оказывается дырка верхней шестерёнки. Но дырок на нижней шестерёнке n, поэтому из n² − n + 1 поворотов верхней шестерёнки только при при не более, чем n(n − 1) из них наблюдаются совпадения дырок обеих шестерёнок. Поскольку (n² − n + 1) − n(n − 1) = 1, найдётся такой поворот верхней шестерёнки, когда совпадения дырок не будет. Этот поворот искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	3