Задача 79312

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Пусть M'K'H' — треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника ABC?

Решение

Ответ: да, может. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC₁ с катетами AB = 1 и BC₁ = 2n. Проведём в нём медиану AM₁, биссектрису BK₁ и высоту C₁H₁. Площадь треугольника, образованного этими отрезками, больше S_ABM1 - S_ABK1. Ясно, что S_ABK1 < 1/2 и S_ABM1 = n/2, т.е. S_ABM1 - S_ABK1 > (S/2) - (S/2n), где S = S_ABC1. Поэтому при достаточно большом n площадь треугольника, образованного отрезками AM₁, BK₁ и C₁H₁, будет больше 0, 499S.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	39
Год	1976
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	2