Задача 79314

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Куб ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?

Решение

Ответ: да, можно.
Докажем сначала, что прожектор можно повернуть так, чтобы он освещал соседние вершины A и B куба. Если AOB < 90^o, то из центра O куба можно осветить отрезок AB. Для этого нужно поместить отрезок AB в одной из граней освещаемого прожектором угла, а затем слегка пошевелить прожектор. Остаётся проверить, что AOB < 90^o. Это следует из того, что AO² + BO² = AB² + AB² > AB². Повернём прожектор так, чтобы он освещал две вершины куба. Плоскости граней освещаемого прожектором угла разбивают пространство на 8 октантов. Так как в одном из них лежат две из восьми вершин куба, найдётся октант, не содержащий ни одной вершины. Этот октант задаёт требуемое положение прожектора.
Замечание. Мы не рассматриваем того случая, когда одна из плоскостей граней октантов содержит вершину куба. От этого случая можно избавиться, слегка пошевелив прожектор.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	39
Год	1976
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4