|
|
 |
Условие
a1, a2, a3, ..., an, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что an+1 ≤ 10an при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a1a2a3..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.
Решение
Допустим, что у нас получилась периодическая последовательность цифр и что длина периода (количество цифр в нем) равна T. Легко видеть, что число an+1 может быть "длиннее" числа an не более чем на один разряд (и, разумеется, не короче). Поскольку последовательность (an) – возрастающая, в ней есть числа любой длины, большей длины a1. Поэтому в ней найдётся число am, длина которого kT кратна периоду. Первые kT цифр числа am+1 должны совпадать с цифрами числа am, поэтому у am+1 есть ещё один разряд (am+1 > am), и в нём обязательно стоит нуль (10am ≥ am+1). Таким образом, первая цифра в записи am – нуль, что невозможно.
Замечания
Если условие an+1 ≤ 10an заменить чуть-чуть более слабым: an+1 ≤ 10an + 1 или an+1 ≤ (10 + ε)an. где ε – произвольное положительное число, то полученная десятичная дробь может оказаться периодической.
