|
|
 |
Условие
Дано число, имеющее нечётное число разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.
Решение
Заменим каждую семёрку двойкой, а все остальные цифры –
единицами.
Будем называть число, имеющее чётное число разрядов, справедливым, если в нём количество чётных цифр на нечётных местах равно количеству чётных цифр на чётных местах. Докажем, что в любом числе, имеющем нечётное число разрядов, можно вычеркнуть одну цифру так, что полученное
число будет справедливым.
Заметим вначале, что если мы в любое место (2m−2)-значного справедливого числа добавим две идущие подряд цифры одинаковой чётности или добавим по цифре одинаковой чётности в его начало и в конец, то получающееся при этом 2m-значное число останется справедливым.
Теперь докажем требуемое утверждение индукцией по m. База ( m = 1): в трёхзначном числе всегда можно вычеркнуть цифру так, чтобы две оставшиеся были одинаковой чётности.
В (2m+3)-значном числе всегда найдутся две цифры одинаковой чётности, стоящие либо рядом, либо одна – в начале, а другая – в конце числа. Вычеркнув на время две эти цифры, получим (2m+1)-значное число, в котором, по предположению индукции, можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся 2m-значное число будет справедливым. Восстановив в нем две вычеркнутые ранее цифры одинаковой чётности, получим справедливое (2n+2)-значное число.
