Задача 79397

Темы:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Невыпуклые многоугольники ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

X и Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник X содержится внутри Y. Пусть S(X) и S(Y) — площади этих многоугольников, а P(X) и P(Y) — их периметры. Доказать, что < 2 ^. .

Решение

Докажем сначала, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P. Построим на сторонах многоугольника внутренним образом прямоугольники со второй стороной R = S/P. Они покроют не весь многоугольник (эти прямоугольники перекрываются и могут вылезать за его пределы, а сумма их площадей равна площади многоугольника). Непокрытая точка удалена ото всех сторон многоугольника больше, чем на R, поэтому круг радиуса R с центром в этой точке целиком лежит внутри многоугольника.
Таким образом, во внутренний многоугольник можно поместить круг радиуса S₂/P₂. Ясно, что этот круг лежит внутри внешнего многоугольника. Остаётся доказать, что если внутри многоугольника лежит круг радиуса R, то R ≤ 2S/P. Для этого соединим центр O круга с вершинами. Тогда многоугольник разобьётся на треугольники с площадями h_ia_i/2, где h_i — расстояние от точкиO до i-й стороны, а a_i — длина i-й стороны. Так как h_i ≥ R, то 2S = h_ia_i ≥ Ra_i = RP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	9
задача
Номер	3