Задача 79400

Тема:    [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k) ^. (1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.

Решение

Из условия следует равенство f (х + k) = . Тогда f (x + 2k) = − ; f (x + 4k) = − = f (x). Значит, f (x) — периодическая функция с периодом 4k.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	10
задача
Номер	1