Задача 79402

Темы:    [ Предел последовательности, сходимость ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Доказать, что последовательность x_n = sin(n²) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Решение

Воспользуемся следующим тригонометрическим неравенством:

|sin(α − β)| ≤ |sinα| + |sinβ|.

Пусть sin(k²) 0. Выберем ε < |sin 2| и такое N, что |sin(n²)| < ε при любом n > N. Используя приведенное выше тригонометрическое неравенство дважды, получаем:

|sin((n + 1)² − n²)| = |sin(2n + 1)| ≤ |sin(n + 1)²| + |sin(n²)| < 2ε,
|sin((2n + 3) − (2n + 1))| = |sin(2)| ≤ |sin(2n + 3)| + |sin(2n + 1)| < 2ε + 2ε = 4ε,

откуда следует противоречивое неравенство:

|sin 2| < 4ε < 4 ^. = |sin 2|.

(Решение из книги  [Гальперин, Толпыго]).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	10
задача
Номер	3