Задача 79403

Темы:    [ Ломаные внутри квадрата ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Решение

Пусть l_i — длина i-го звена ломаной, a_i и b_i — длины его проекций на стороны квадрата. Тогда l_i ≤ a_i + b_i. Более того, равенство l_i = a_i + b_i достигается лишь в том случае, когда i-е звено ломаной параллельно одной из сторон квадрата. Но в таком случае прямая, проходящая через это звено, параллельна стороне квадрата и пересекает ломаную более чем в 101-й точке (она пересекает ломаную в бесконечном числе точек). Таким образом, можно считать, что l_i < a_i + b_i. Следовательно, 200 = l₁ + ... + l_n < (a₁ + ... + a_n) + (b₁ + ... + b_n). Поэтому a₁ + ... + a_n > 100 или b₁ + ... + b_n > 100. Если сумма проекций звеньев на отрезок длины 1 больше 100, то на одну из точек этого отрезка проецируется более 100 различных звеньев ломаной. Перпендикуляр к стороне квадрата, восставленный из этой точки, — искомая прямая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	44
Год	1981
вариант
Класс	10
задача
Номер	4