Задача 79412

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Числа 1, 2, 3, ..., 1982 возводятся в квадрат и записываются подряд в некотором порядке.
Может ли полученное многозначное число быть полным квадратом?

Решение

При делении на 3 квадрат целого числа даёт остаток 0 или 1. Квадраты данных чисел при делении на 3 дают остатки 1, 1, 0, ..., 1, 1. Сумма этих остатков равна  2·1983 : 3 ≡ 2 (mod 3).  Такой же остаток при делении на 3 даёт и число, которое получается при возведении данных чисел в квадрат и записывании их в произвольном порядке.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	45
Год	1982
вариант
Класс	8
задача
Номер	3