Задача 79421

Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

а) a, b, c — длины сторон треугольника. Доказать, что a⁴ + b⁴ + c⁴ − 2(a²b² + a²c² + b²c²) + a²bc + b²ac + c²ab ≥ 0.
б) Доказать, что a⁴ + b⁴ + c⁴ − 2(a²b² + a²c² + b²c²) + a²bc + b²ac + c²ab ≥ 0 для любых неотрицательных a, b, c.

Решение

Обозначив левую часть неравенства через f (а, b, с), заметим, что f (а, b, с) = (а + b + с)(аbс − (b + с − а)(а + c − b)(b + а − с)). Среди чисел b + с − а, а + с − b, b + а − с не более одного отрицательного (если а + b − с < 0, b + с − а < 0, то 2b < 0). Если отрицательно ровно одно из этих чисел, то их произведение неположительно и поэтому f (а, b, с) ≥ 0. Если же они все неотрицательны, то a²b²c² ≥ (a² − (b − c)²)(b² − (a − c)²)(c² − (a − b)²) = (b + c − a)²(a + c − b)²(b + a − c)² abc − (b + c − a)(a + c − b)(b + a − c) ≥ 0, откудa f (a, b, c) ≥ 0 при любых неотрицательных a, b, c.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	45
Год	1982
вариант
Класс	10
задача
Номер	2