Задача 79457

Темы:    [ Покрытия ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую площадь может иметь этот треугольник?

Решение

Площадь может быть равна любому положительному числу не меньше .

Докажем сначала, что если площадь S треугольника меньше , то его можно вырезать из полоски ширины меньше 1. Достаточно доказать, что у него есть высота меньше 1. Эквивалентное условие: у треугольника есть сторона a > 2S. Предположим, что все стороны треугольника не превосходят 2S. Пусть γ — наименьший из углов треугольника. Тогда S = ab sin γ ≤ ≤ S², поэтому S ≥ 1/. Приходим к противоречию.
Рассмотрим теперь равнобедренный треугольник с высотой 1 и основанием a ≥ 2/. Боковые стороны имеют длину не больше длины основания, поэтому у рассматриваемого треугольника нет высот меньше 1. Докажем, что в таком случае треугольник нельзя вырезать из полоски ширины меньше 1. Пусть треугольник ABC расположен внутри полосы ширины меньше 1. Проведём через его вершины прямые, перпендикулярные сторонам полоски. Пусть для определённости прямая, проходящая через вершину B, заключена между двумя другими прямыми. Тогда она пересекает сторону AC в некоторой точке M. С одной стороны, BM < 1. С другой стороны, BM ≥ h_b, поэтому h_b < 1.

Ответ

Площадь может быть равна любому положительному числу не меньше .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	47
Год	1984
вариант
Класс	9
задача
Номер	3