|
|
 |
Условие
Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.
Решение
Обозначим вершины рассматриваемого треугольного сечения куба через A, В, С, общую вершину трёх ребер, на которых они лежат – через V, точки касания вписанной сферы с плоскостями ABC, VAB, VBC, VCA – через T, K, L, M (последние три точки, очевидно, – центры граней куба). В силу равенства касательных, проведённых к сфере из одной точки, AT = AK = AM, BT = BK = BL, CT = CL = CM, поэтому треугольники ABK и ABT, BCL и BCT, CAM и CAT, а также AVK и AVM, BVK и BVL, CVL и CVM попарно равны и, тем более, равновелики. Следовательно, площадь сечения ABC равна сумме S1 площадей треугольников ABK, BCL и CAM. Пусть S – площадь грани куба. Докажем, что для любых трёх точек A, B, C на рёбрах куба, выходящих из вершины V, S1 = SABK + SBCL + SCAM ≤ ½ S. (*)
Для этого заметим, что если две из трёх точек, например B и C, закреплены, то площади треугольников ABK и ACM, а значит, и вся сумма S1, линейно зависят от x = VA. Поэтому всегда можно передвинуть точку A в конец ребра так, чтобы величина S1 не уменьшилась. То же самое можно проделать последовательно с точками В и С; следовательно, неравенство (*) достаточно доказать для точек A, B и C, расположенных в вершинах куба. Имеется всего четыре таких расположения (с точностью до переобозначений). В двух случаях S1 = 0, в двух других S1 = ½ S.
