Задача 79473

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Числа a₁, a₂, ..., a₁₉₈₅ представляют собой переставленные в некотором порядке числа 1, 2, ..., 1985. Каждое число a_k умножается на его номер k, а затем среди полученных 1985 произведений выбирается наибольшее. Доказать, что оно не меньше, чем 993².

Решение

Чисел a_k, не меньших 993, в точности 993. Поэтому хотя бы одно из них имеет номер, не меньший 993, и для него  ka_k ≥ 993².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	48
Год	1985
вариант
Класс	8
задача
Номер	2