Задача 79544

Темы:    [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ] [ Необычные построения (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Проведя наименьшее количество линий (окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки), постройте прямую, проходящую через данную точку параллельно заданной прямой.

Решение

Ответ: 3 линии.
Первый способ. Дана прямая a и точка O (обозначения). Отметим на прямой две произвольные точки A и B. Проведём окружность с центром в точке B радиуса AO, и окружность с центром в точке O радиуса AB. Они пересекутся в точках X и Y. Пусть X – та из них, которая лежит с точкой A по разные стороны относительно прямой OB.

Четырёхугольник AOXB — параллелограмм, так как его противолежащие стороны равны. Теперь можно провести искомую прямую — OX.

Излагая это же решение другими словами, можно сказать, что мы стандартным способом построили треугольник BOX по двум вершинам (B и О) и длинам двух сторон, равных длинам отрезков AO и AB. Очевидно, что ABO = XOB (по трём сторонам). Поэтому ABO=XOB, а это внутренние накрест лежащие углы для прямых a и OX и секущей BO. Из равенства этих углов следует, что a и OX параллельны.

Второе решение. Отметим на прямой произвольную точку A и проведём через точку O окружность с центром в точке A. Эта окружность пересекает прямую в двух точках; обозначим их через М и N. Далее измерим циркулем отрезок MO и проведём с центром в точке N окружность радиуса MO. Искомая прямая проходит через точку O и точку B – одну из точек пересечения двух построенных окружностей.

MAO = NAB по трём сторонам, следовательно, равны и высоты этих треугольников, проведённые из вершин O и B. Основания этих треугольников (MA и NA) лежат на прямой a, поэтому точки O и B находятся от прямой a на одинаковом расстоянии. Недостатком этого решения является то, что если точка A случайно оказалась основанием перпендикуляра, проведённого из точки O, то точки O и B совпадают и не определяют нужной нам прямой (На самом деле этот же недостаток "замаскирован" и в первом решении, в предложении "Отметим на прямой две произвольные точки A и B." Если точки произвольные, то они случайно могут совпасть (и тогда построение не получится), а для построения на прямой двух несовпадающих точек придётся проводить дополнительные линии.).
Докажем теперь, что двумя линиями обойтись нельзя. Второй линией должна стать искомая прямая. Чтобы её провести, нужно получить вторую точку, находящуюся на том же расстоянии от прямой a, что и точка O. Но после проведения одной линии все точки этой линии, кроме точек пересечения с прямой a, будут неразличимы, и найти вторую точку, находящуюся на нужном расстоянии от прямой a, построив только одну линию, невозможно.
Примечание. В решении мы упоминали параллелограмм, треугольники, секущую BO и углы. Однако для построения нам были нужны только точки (вершины параллелограмма и треугольников, концы отрезка секущей, концы отрезков, образующих углы), сами же отрезки для построения нужны не были, поэтому мы их не проводили и, разумеется, не учитывали при подсчёте проведённых линий.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	52
Год	1989
вариант
Класс	7
задача
Номер	2