|
|
 |
Условие
Найдите все натуральные числа x, удовлетворяющие условиям: произведение цифр числа x равно 44x – 86868, а сумма цифр является кубом натурального числа.
Решение
Пусть an...a0 – десятичная запись числа a. Тогда a ≥ an·10n ≥ anan−1·9n ≥ anan−1...a0. Отсюда следует, что x ≥ 44x − 86868, откуда x ≤ 2020. С другой стороны, произведение цифр любого числа неотрицательно, а значит, 44x ≥ 86868, откуда x ≥ 1975. Для чисел от 2000 до 2020 произведение цифр равно нулю, что не может быть равно 44x − 86868 (так как 86868 не делится на 44). Следовательно, 1975 ≤ x ≤ 1999, а значит, сумма цифр числа x не меньше 1 + 9 = 10 и не больше 1 + 9 + 9 + 9 = 28. В этом промежутке есть только один точный куб, следовательно, сумма цифр числа x равна 27, а значит, либо x = 1989, либо x = 1998. В обоих случаях произведение цифр равно 1·9·9·8 = 648. Следовательно, 44x = 86868 + 648 = 87516, откуда
x = 1989.
