Задача 79576

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Найдите все простые числа р, q, r, удовлетворяющие равенству  p^q + q^p = r.

Решение

  Заметим, что  r > 2  и, следовательно, нечётно. Значит, числа p и q разной чётности.
  Пусть  p = 2,  тогда  2^q + q² = r.
  Поскольку q нечётно, 2^q даёт остаток 2 при делении на 3. Если  q ≠ 3,  то  q не делится на три, а значит,  q² ≡ 1 (mod 3).  Поэтому r кратно 3, что невозможно, так как  r > q > 3.
  Таким образом, остаётся только вариант  p = 2,  q = 3,  r = 2³ + 3² = 17.

Ответ

(2, 3, 17),  (3, 2, 17).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	53
Год	1990
вариант
Класс	10
задача
Номер	2