Задача 79595

Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Функция f (x) при каждом значении  x ∈ (− ∞, + ∞)  удовлетворяет равенству  f(x) + (x + ½)f(1 − x) = 1.
  а) Найдите f(0) и f(1).
  б) Найдите все такие функции f(x).

Решение

  а) Запишем данное равенство при  x = 0  и при  x = 1:   f(x) + ½ f(1) = 1,  f(1) + ³/₂ f(0) = 1.   Решая эту систему, получаем  f(0) = 2,  f(1) = −2.

  б) Запишем данное равенство при x = ½ + t  и при  x = ½ − t:   f(½ − t) + (1 − t)f(½ + t) = 1,  f(½ + t) + (1 + t)f(½ − t) = 1.   При  t ≠ 0  эта система имеет единственное решение   f(½ + t) = – ¹/_t,  f(½ − t) = ¹/_t.   Следовательно,   f(x) =   при  x ≠ ½.
  Запишем теперь данное равенство при  x = ½:   f(½) + (½ + ½)f(½) = 1,   то есть  f(½) = ½.
  Проверка того, что эта функция подходит, производится прямой подстановкой.

Ответ

  f(x) =   при  x ≠ ½,  f(½) = ½.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	54
Год	1991
вариант
Класс	10
задача
Номер	1