Задача 79622

Темы:    [ Раскраски ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Токарев С.И.

Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?

Решение

  Пусть M – многогранник, рёбра которого покрашены требуемым образом. Если i-м  (i = 1, 2)  цветом покрашено n_i рёбер, то суммарное (по всем граням) число сторон этого цвета равно 2n_i (каждое ребро служит стороной ровно двум граням). А так как у каждой грани сторон разных цветов поровну, то   2n₁ = 2n₂,  то есть  n₁ = n₂,  и общее число рёбер   n₁ + n₂  чётно.
  На рисунке показан девятигранник, имеющий 19 рёбер и ограниченный одной шестиугольной и восемью четырёхугольными гранями. Согласно вышедоказанному раскрасить его рёбра нужным образом нельзя.

Ответ

Не обязательно.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1992
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М1365
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	55
Год	1992
вариант
Класс	10
задача
Номер	6