ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79625
Темы:    [ Сферическая геометрия и телесные углы ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.

Решение

Сначала "склеим" противоположные точки экватора. Тогда мы можем считать, что Аладдин двигался не по экватору, а по полученной после склейки окружности, ни в какой момент не телепортировался и побывал во всех её точках. Пусть 2πφ(t) — угловая координата Аладдина в момент времени t. Так как Аладдин ни в какой момент времени не телепортировался, то функцию φ можно выбрать непрерывной. Тогда нам достаточно доказать следующее утверждение:
Дана непрерывная функция φ(t), причём {φ(t)} принимает все возможные значения. Докажите, что $ \max_{t}^{}$φ(t) − $ \min_{t}^{}$φ(t) ≥ 1. Но это утверждение очевидно: если эта разность меньше единицы, то функция φ не может принимать значения от {$ \max_{t}^{}$φ(t)} до 1 и от 0 до {$ \min_{t}^{}$φ(t)}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 55
Год 1992
вариант
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .