Задача 86097
|
|
 |
Условие
Бумага расчерчена на клеточки со стороной 1. Ваня вырезал из неё по клеточкам прямоугольник и нашёл его площадь и периметр. Таня отобрала у него ножницы и со словами "Смотри, фокус!" вырезала с краю прямоугольника по клеточкам квадратик, квадратик выкинула и объявила: "Теперь у оставшейся фигуры периметр такой же, какая была площадь прямоугольника, а площадь - как был периметр!" Ваня убедился, что Таня права.а) Квадратик какого размера вырезала и выкинула Таня?
б) Приведите пример такого прямоугольника и такого квадрата.
в) Прямоугольник каких размеров вырезал Ваня?
Решение
а) Квадратик не мог иметь общий угол с прямоугольником (см. рис.), так как тогда периметр остался бы прежним или уменьшился (убедитесь сами!), а площадь бы уменьшилась. Значит, квадрат примыкает только к одной из сторон прямоугольника (см. рис.).Пусть сторона квадрата x. Тогда Таня, вырезав квадрат, уменьшила площадь фигуры на x2, при этом периметр увеличился на две стороны квадрата, то есть на 2x. Таким образом,
исходная площадь - x2 = площадь полученной фигуры,
исходный периметр + 2x = периметр полученной фигуры.
исходная площадь = периметр полученной фигуры,
исходный периметр = площадь полученной фигуры.
исходная площадь - x2 = исходный периметр,
исходный периметр + 2x = исходная площадь.
в) Пусть стороны прямоугольника m и n. Тогда из решения пункта а) следует, что mn=2m+2n+4. Наша задача - найти все возможные пары чисел m и n, удовлетворяющие этому равенству. Можно рассуждать так. Ясно, что m и n превосходят 2, иначе квадрат 2*2 вырезать нельзя. Пусть m>n. Тогда, при m>n>5, 2m+2n+4<4m+4<5m<mn. Значит, 2<n<5. Подставляя n=3, находим m=10, а при n=4 получаем m=6. Таким образом, прямоугольники могли быть только такие, как показано на рисунках - 3*10 и 4*6.
Можно рассуждать иначе. Равенство mn=2m+2n+4 можно записать в виде (n-2)(m-2)=8. Поскольку m и n превосходят 2, задача сводится к поиску разложений числа 8 на два натуральных множителя.
