Задача 86102

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

Решение

  Докажем, что точки X и Y лежат на серединном перпендикуляре к отрезку A'B'. Для этого достаточно проверить, что X и Y равноудалены от A' и B'.

  Первый способ. В треугольниках CA'H и CB'H медианы прямых углов равны половине гипотенузы, поэтому  A'Y = ½ CH = B'Y.  Аналогично
A'X = B'X.

  Второй способ. Отрезки AB и CH видны из точек A' и B' под прямыми углами, поэтому A' и B' лежат на окружности с диаметром AB и на окружности с диаметром CH. Значит, A' и B' равноудалены от центров X и Y этих окружностей.

Замечания

1. Можно также сослаться на то, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	68
Год	2005
вариант
Класс	8
задача
Номер	3
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6213
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	26
Дата	2004/2005
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2