|
|
 |
Условие
На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Решение
Так как у Сени и Жени получились одинаковые числа, каждая из цифр 1, 2, ..., 9 входит в Сенино и Женино числа одно и то же число раз. Число появлений каждой из цифр на окружности постоянно, поэтому цифра, не выписанная Сеней, совпадает с цифрой, не выписанной Женей.
Предположим, что между теми точками на окружности, с которых Сеня и Женя соответственно начинали выписывать свои числа, расположена k − 1 цифра (если считать по часовой стрелке). Тогда из условия и сказанного выше следует, что поворот окружности на k цифр по часовой стрелке совмещает каждую цифру с равной ей.
Пусть m – наименьшее ненулевое количество цифр, на которое можно повернуть по часовой стрелке окружность так, чтобы каждая цифр совместилась с равной ей.
Разделим n на m с остатком: n = mq + r. Тогда легко видеть, что поворот на r цифр по часовой стрелке тоже переводит каждую цифру в равную ей. Так как r < m, то из условия минимальности m следует, что r = 0. Значит, n делится на m.
Теперь можно разрезать окружность на дуги, содержащие по m цифр, причём записанные на дугах цифры будут образовывать одинаковые числа.
