Задача 86119

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Уравнения с модулями ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n²d, где d - разность прогрессии, а n - число ее членов?

Решение

Обозначим сумму модулей членов арифметической прогрессии через S. Покажем, что величина S/(n²d) является постоянной для прогрессий, удовлетворяющих условию задачи, и равна 1/4, если данная прогрессия a₁,a₂, … ,a_n, для определённости, возрастает (для убывающей прогрессии эта величина равна -1/4). Из условия задачи следует, что функция
S(x) = |x - a₁| + |x - a₂| + … + |x - a_n|
принимает в трёх различных точках одинаковые значения. Так как

то при x ≤ a_{i + 1} и i < n/2 эта функция убывает, при a_i ≤ x ≤ a_{i + 1} и i = n/2 - постоянна, а при x ≥ a_i и i > n/2 - возрастает. Следовательно, условие задачи может выполняться только, когда число n = 2k чётно и

Ответ

±400.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	68
Год	2005
вариант
Класс	11, вариант А
задача
Номер	2