Задача 86500

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, AM и CN – его высоты, а Q – середина стороны AC.
Докажите, что треугольник MNQ – равносторонний.

Решение

  В прямоугольных треугольниках AMC и ANC (см. рис.) Q – середина гипотенузы AC, значит,  QM = ½ = QN.  Вычислим угол MQN.

  Первый способ. Точки M и N лежат на окружности с диаметром АС.  ∠BAM = 90° – ∠B = 30°,  поэтому  ∠MQN = 2∠MAN = 60°.

  Второй способ.  ∠MQN = 180° – (∠AQN + ∠CQM).  Так как треугольники AQN и CQM – равнобедренные, то  ∠AQN = 180° – 2∠A,
∠CQM = 180° – 2∠C.
  ∠CQM = 360° – 2(∠A + ∠C) = 2∠B) = 120°,  значит,  ∠MQN = 60°.  Следовательно, треугольник MQN – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	8
задача
Номер	2.2