Задача 86520

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Про квадратный трехчлен  f(x) = ax² – ax + 1  известно, что  | f(x)| ≤ 1  при  0 ≤ x ≤ 1.  Найдите наибольшее возможное значение а.

Решение

Так как  f(0) = f(1) = 1,  то графиком трехчлена является парабола, симметричная относительно прямой  x = 0,5.  Из условия  | f(x)| ≤ 1  при
0 ≤ x ≤ 1  следует, что ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение  f(x) равно  f(0,5) = 1 – ^а/₄.  Наибольшее возможное значение а достигается в случае, когда это число равно –1, то есть при  а = 8.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	9
задача
Номер	5.1