Задача 86895

Темы:    [ Векторное произведение ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро образует с плоскостью основания угол α . Найдите радиус описанного шара.

Решение

Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP ( P – вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P , A и M (центр основания ABC ). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок AM за точку M до пересечения с этой окружностью в точке A1 . Тогда равнобедренный треугольник APA1 вписан в окружность радиуса R . Из прямоугольного треугольника PMA находим, что

AP = = ,
а т.к. PA1 = PA , по известной формуле для радиуса описанной окружности (теорема синусов) находим, что
R = = = = .


Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP ( P – вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P , A и M (центр основания ABC ). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок PM за точку M до пересечения с этой окружностью в точке Q . Поскольку PQ – диаметр окружности, PAQ = 90^o , а AM – высота прямоугольного треугольника PAQ , проведённая из вершины прямого угла. Значит, MA2 = PM· MQ , или
()2 = tg α (2R- tg α),
Откуда находим, что
R = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7071