Задача 86900

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Векторное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

Пусть M – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP , K – середина AB . Пусть боковое ребро данной пирамиды образует с плоскостью основания угол α . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APC . Поскольку центр сферы радиуса R , описанной около пирамиды, расположен на её высоте PM , эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса R , описанной около равнобедренного треугольника APC . Поэтому

R = = .
Из прямоугольного треугольника PMC находим, что
tg α = tg PCM = = = = .
Тогда
cos α = , sin α = ,

AP = PC = = = .
Следовательно,
R = = = .


Пусть M – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP , K – середина стороны AD . Тогда PM – высота пирамиды,
PM=MK tg 60^o = · = .
Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM . Пусть эта прямая вторично пересекает описанную сферу в точке Q . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , Q и A . Эта плоскость пересекает сферу по окружности, радиус R которой равен радиусу сферы. Поскольку PQ – диаметр этой окружности, PAQ = 90^o . Тогда AM – высота прямоугольного треугольника PAQ , проведённая из вершины прямого угла. Поэтому AM2 = PM· MQ , или
()2 = (2R-),
откуда находим, что R = .

Ответ

R = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7076